Математика и геометрия

Калькулятор систем линейных уравнений (СЛАУ)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Крамера до 8 неизвестных

Каждое уравнение — в отдельной строке: коэффициенты при неизвестных и свободный член через пробел. Например, 2x + 3y − z = 5 записывается как «2 3 -1 5». Можно до 8 неизвестных

Пример расчёта

Единственное решение

x = 2, y = 3, z = −1

Система2x + y − z = 8; −3x − y + 2z = −11; −2x + y + 2z = −3
Ранг3 из 3 неизвестных
Определитель Δ−1
Метод КрамераΔx = −2, Δy = −3, Δz = 1; x = Δx ÷ Δ
Проверка подстановкойвсе уравнения верны
Шаги метода Гауссапереставили строки 1 и 2; R2 − (−0,666667)·R1; R3 − (0,666667)·R1; переставили строки 2 и 3; R1 − (−0,6)·R2; R3 − (0,2)·R2; R1 − (12)·R3; R2 − (3,333333)·R3
Ход расчёта и таблица

Метод Гаусса: матрица приведена к диагональному виду, x = 2, y = 3, z = −1

Решение

НеизвестнаяЗначениеДробью
x22
y33
z−1−1

Обновлено:

СЛАУ система уравнений метод Гаусса Крамер

Как решить систему линейных уравнений

Запишите каждое уравнение отдельной строкой: сначала коэффициенты при неизвестных по порядку, в конце — свободный член. Отсутствующая переменная записывается нулём. Например, система 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3 вводится как три строки «2 1 -1 8», «-3 -1 2 -11», «-2 1 2 -3». Для системы из двух уравнений удобнее вкладка с отдельными полями.

  • Единственное решение — значения всех неизвестных, дроби и проверка подстановкой;
  • Бесконечно много решений — общее решение через свободные переменные;
  • Нет решений — система противоречива.

Методы решения

Метод Гаусса

Rᵢ − k · Rⱼ — вычитаем строки, обнуляя коэффициенты

Расширенная матрица приводится к диагональному виду, после чего значения неизвестных читаются напрямую. Калькулятор выбирает наибольший по модулю ведущий элемент, чтобы уменьшить погрешность.

Метод Крамера

xᵢ = Δᵢ ÷ Δ

Δ — определитель матрицы коэффициентов, Δᵢ — определитель, где i-й столбец заменён свободными членами. Для системы 2x + 3y = 13, x − y = −1: Δ = −5, Δx = −10, x = 2.

Теорема Кронекера — Капелли

rang A = rang (A|b) = n → одно решение

Если ранги равны, но меньше числа неизвестных, решений бесконечно много; если ранги разные — решений нет.

Частые вопросы

Можно ли решить систему, где уравнений больше, чем неизвестных?

Да. Калькулятор проверит, согласуются ли лишние уравнения с остальными. Если согласуются — выдаст решение, если нет — сообщит, что система несовместна.

Когда нельзя применить метод Крамера?

Когда определитель равен нулю или матрица не квадратная. В этих случаях система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много — это покажет метод Гаусса.

Почему в ответе стоят десятичные дроби?

Вычисления идут с плавающей точкой. Рядом со значением калькулятор показывает простую дробь, если решение рациональное с небольшим знаменателем.

Похожие калькуляторы

Калькулятор дробей

Сложение, вычитание, умножение и деление дробей

Калькулятор матрицы

Операции с матрицами: сложение, умножение, определитель, обратная

Калькулятор треугольника

Расчёт сторон, углов, площади и периметра треугольника

Калькулятор цилиндра

Расчёт объёма и площади поверхности цилиндра

Калькулятор круга

Расчёт площади, длины окружности и диаметра круга

Инженерный калькулятор

Научные вычисления: тригонометрия, логарифмы, степени

Разработка под ключ

Заказать разработку калькулятора для сайта

Делаем калькуляторы любой сложности: от конвертера валют до расчёта кредита, налогов, себестоимости, доставки или подбора оборудования. Ваши формулы и справочники — наш аккуратный интерфейс, мобильная версия и SEO-тексты.

  • Любая сложность расчётов
  • Ваши формулы и справочники
  • Интеграция в любой сайт
  • Адаптив, графики и выгрузка PDF
info@calcputer.ru

Ответим в течение рабочего дня · оценка сроков бесплатная